点击查看>>>2015-2011 AP考试历年真题及答案解析
随着5月份AP考试分数陆续放出，即将于今年秋季就读美国本科的学生们悬着的心都落了下来——他们入学前的最后一项考试终于尘埃落定。无论是5分的喜悦还是4分的遗憾都无法让这些准大学生们回避另一个问题：大一还要不要学微积分?笔者可以明确地告诉你：当然要!
为了搞清楚这个问题，我们要弄清AP微积分BC的考纲(参见文末)和美国大学里非数学专业学生学习的微积分大纲的异同(数学专业学生就不要问了你是肯定要学的)。
从内容的广度上看，一般大学一年级微积分比AP微积分的内容多不了多少(当然，排名前30的大学除外)，主要区别在于大学的Application of Derivatives&Integrals里多讲了一些微积分的应用，比如Newton’s method,Surface area of revolution与Centers of Mass,Fluid Pressure and Fluid Force等。这里面具体知识点的差异因校而异。看到这或许学生们会窃喜，好像没有多太多内容嘛，是不是不学也OK了?呵呵。笔者想问各位参加AP微积分考试的各位同学一个问题：微积分学来是干什么用的?
除了通过考试帮助申请大学这种在录取之后就没有用的理由外，那对于大多数学生来说，微积分只有一个用处：给你在所学专业里提供必要的计算工具。说白了，就是如果你学的不是纯数学专业，那么微积分的应用对你来说至关重要。
对于选择工程类方向的学生来说，Newton’s method(牛顿切线法)提供了计算机/器用来解方程的基本算法，而算法的好坏就可能导致别人设计的计算器算10秒钟的东西而你设计的机器却需要算10分钟(想必有些同学用卡西欧解方程时也发生过计算器半天空白没有显示结果而你却以为计算器坏掉的状况吧)。
对于选择经济类方向的学生，Centers of Mass(重心)是用来求不规则物体重心位置的重要工具。但或许你想不到，它却与统计学中的一个重要概念的理解密不可分
对于一个学过统计分布图的同学，你或许对于skewed distribution(有偏分布)的平均数不等于中位数这个结论不陌生。比如right skewed(右偏分布)的平均数大于中位数，但left skewed(左偏分布)的平均数小于中位数(如图)，但却无法深入理解这其中的道理。
通过比较平均数计算公式与微积分中物体重心计算公式可得，随机变量的平均数应该位于其分布直方图(Histogram)的重心位置。而中位数只位于将分布曲线下方面积等分的位置。所以二者会有上述关系。而这些只有在学习了微积分中关于重心计算的部分之后才会理解的深入。以下为GRE官方指南中关于中位数与平均数关系的论述，可见对于以后有志于在美读研的同学来说，弄懂二者的关系意义深远哦。The median splits the data into a lower half and an upper half, so that the sum of the areas of the bars to the left of median is the same as the sum of the areas to the right. ... The nature of the mean is such that if an imaginary fulcrum were placed somewhere under the horizontal axis in order to balance the distribution perfectly, the balancing position would be exactly atthe mean....To summarize, the median is the “halving point,” and the mean is the “balance point.”
从内容的深度上看，AP仅仅要求考生会用基本的定理来计算简单的数学问题，而大学微积分课还要求考生掌握一些定义的深入内容以及一些原理的推导过程。比如AP并未要求学生掌握极限的ε-Ν定义，而该定义是学习高等数学一系列概念的钥匙。
学会了该定义后，一些过去无法理解的奇妙结论都变得理所应当了。例如，0.999…这个无限循环小数为何等于1?很多没有学习极限ε-Ν定义的同学觉得这不可思议。但是如果我们假设0.999…与1在数轴上的对应点分别为A与B，我们就会发现A点与B点之间找不到其它点比A点更靠近B点(如图)。
这意味着A与B的距离为零!那么这两个点就是同一个点。于是它们所对应的数值就相等：0.999…=1.有些同学会问这些是如何想到的。其实这只是掌握了极限的ε-Ν定义之后的一个小试牛刀。我们不妨预览下该定义的语言：
另外，在与AP共同的部分，大学微积分的要求更深入。我们可以看一道来自于UCSC(全美综合排名80位)大一期末数学考卷的试题：
UCSC只是一所普通大学。此题目需要多次使用Integration by parts(分部积分法)来证明。这比AP Calculus BC的要求高出很多，不经过系统训练很难在短时间内给出完整的证明。
综上所述，错过大学一年级系统学习微积分的机会，你会错过很多。退一步说，好几月不做数学题，即便过去学得再好的学生也会手生，下一个学期继续学习更高难度的数学恐怕就会比较吃力了。
附：2016AP微积分BC的简要考纲
Topic Outline for AP Calculus BC
I. Functions, Graphs, and Limits
• Analysis of Graphs
• Limits of Functions (including one-sided limits)
• Asymptotic and Unbounded Behavior
• Continuity as a Property of Functions
• Parametric, Polar, and Vector Functions
II. Derivatives
• Concept of the Derivative
• Derivative at a Point
• Derivative as a Function
• Second Derivatives
• Applications and Computation of Derivatives
III. Integrals
• Interpretations and Properties of Definite Integrals
• Applications of Integrals
• Fundamental Theorem of Calculus
• Techniques and Applications of Antidifferentiation
• Numerical Approximations to Definite Integrals
IV. Polynomial Approximations and Series
• Concept of Series
• Series of constants
• Taylor Series
【教师简介】：
周鹏，上海新东方学校教师，自2010年开始长年教授双语数学。教授过包括AP，A-level，IB，SAT，SAT2，ACT在内的欧美主流数学考试课程以及中国高考数学课程。教授2000名学员，AP学员满分率超过90%。
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(编辑：秦洁)
