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CB微积分解答题评分规则——不得不说的秘密二

2016-12-26 16:48

来源:APCLUB

作者:周鹏

  在上一篇文章中,我们了解到在解答题中使用图表不能得步骤分这一残酷的事实。

  那么若是使用了非图表方法,但此法又与参考答案不同,考生的答卷会被如何评分呢?

  在AP微积分课程与考试说明(Course and Exam Description)中没有这方面的说明。But…

  笔者对此咨询了前AP微积分首席评卷人Steve Kokoska

  他表示:在过去,此类做法在做对的情况下得满分,做错的情况下按照规则一分不得,但他本人会酌情给一部分分数(“If a student solves a problem correctly, using correct mathematics, they would receive full credit. This has been the practice for a long time.If a student makes a mistake, using a method not on the AP syllabus, I would award partial credit if possible. However, in the past, if a student uses a method not on the AP syllabus and makes any mistake, they would receive no credit.”)。

  为了进一步弄清现状,笔者又咨询了目前AP微积分考试首席评卷人Stephen Davis教授。

  他表示评卷老师一旦遇到此类解答,就会将考卷交由该题阅卷老师、该科目考试负责人和AP考试总负责人组成的委员会来审阅。若结果出错,那么委员会会讨论过程分该如何给予——这对广大乐于学习微积分的学生来说是好消息啊,步骤分还是会有的。当然,Davis教授表示考生还是应该首先学会考纲上的内容,这样才会在考试中表现的更好。

  那么,在AP微积分考试中哪些部分有一些考纲之外简便方法呢?接下来本文将略作总结。

  首先,在数值求解定积分(Numerical Integration)的时候,有左右黎曼和(Left Riemann Sum&Right Riemann Sum)与梯形近似(Trapezoidal Sum)三种常用方法。其实有一种精确度更高的办法:Simpson's Rule。听起来是不是似曾相识?但它与辛普森一家(The Simpson's)没有半毛钱关系。该方法用函数曲线上三个点对应的抛物线来近似替代原函数曲线,从而比前面几种方法更精确地计算了定积分的值。比如下图中用二次函数p(x)来近似替代原函数f(x):

CB微积分解答题评分规则——不得不说的秘密

  其次,在求解旋转体体积的时候,2017考纲中列出的考察方法有disk与washer两种方法。而在往年考试中时不时会出现的圆柱球壳法(cylindrical shell)并没有出现。其实shell method很好的解决了用另外两种方法求解体积时需要转换积分变量的麻烦,比如1997年BC的选择题77题:

CB微积分解答题评分规则——不得不说的秘密

  没有学过shell method的同学需要把x用y表示出来再用disk method来做——二次表达式技巧不纯熟的同学可能都表示不出来。而用shell method则可轻松得出E选项的表达式。

  再次,在分部积分法(Integration By Parts)中有一种叫做表格积分(Tabular Integration)的方法。面对需要多次使用分部积分法而且被积函数(integrand)乘积中的原函数开始循环时,用表格积分的优势就体现出来了。比如1997年BC的84题及其官方公布的参考答案:

CB微积分解答题评分规则——不得不说的秘密

  可以看出连续使用分部积分十分繁琐,下图为此题的表格积分法,简洁程度不言自明:

CB微积分解答题评分规则——不得不说的秘密

  最后,在级数(Series)敛散性判别法(Test of Convergence),根式判别法(Root Test)也是一种较常用但AP考纲中未列出的判别法。学习了此种方法后,学生在判别级数敛散性时又多了一个有力的武器。

  所以,各位学习AP微积分的同学,无论你是在学习中喜爱上了微积分或是为了将来上大学作长远考虑,若是仍有精力,笔者建议你多学习一些好的方法:这不仅能多给你提供一些解题思路,还能加深你对考纲所要求方法的理解,从而达到对微积分的融会贯通——一举多得啊!

  作者简介:周鹏,华东师范大学数学系毕业。自2010年开始长年教授双语数学。教授过包括AP,A-level,IB,SAT,SAT2,ACT在内的欧美主流数学考试课程以及中国高考数学课程。教授2000名学员,AP学员满分率超过90%。曾获得首届新东方VIP教师授课大赛理科组冠军。

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  (编辑:秦洁)

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