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CIE P1 四步搞定三角函数的图像变换

2017-04-17 11:03

来源:新东方英联邦中学

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  点击查看>>>CIE A Level 数学 S1 统计学排列的三大黄金法则 (上)

  正在学P1的小伙伴们,三角函数(Trigonometry)学的销魂吗?

  三角函数在P1里有三大考点:1.证明 2.求值 3.图像变换。

  其中证明是基础,可以通过大量习题来解决。求值可以通过图像法和公式法两种方法解决。而很多同学最头疼,偶尔学校老师还会漏讲的知识点就是三角函数的图像变换。

  本次推送,我们争取一次搞定P1中的三角函数的图形变换的难题。

先看道真题

  The function f : x |→ 5 + 3 cos(0.5x) is defined for 0 ≤ x ≤ 2π(360°).

  (i) Solve the equation f(x) = 7, giving your answer correct to 2 decimal places. [3]

  (ii) Sketch the graph of y = f(x). [2]

  (iii) Explain why f has an inverse. [1]

  (2015年夏季卷11第8题)

  题型分析

  第1小题是求值。第2小题就是三角函数的图像变换画图。画图的题目分值并不大,但是他直接关系到第3小题中判断函数是否有反函数。当然,同学们可以通过描点法将图像画出来,但是由于取值范围涉及到0-2π(360°),描点的工作量会比较大。

  如何1分钟快速画出这道题的图形呢?

  1. 首先,我们要熟悉y = sin(x),y= cos(x)的基本图像:

  CIE

  我们发现,sin(x)和cos(x)的共同点:

  周期(Period)都为 360°(2π)

  振幅(Amplitude)即图像上下震动的幅度,均为1

  最大值 为1

  最小值 为-1

  (以上基本知识点请务必熟练记忆)

  2. 三角函数的图像变化遵循以下规则(以y = sinx为例):


CIE P1 四步搞定三角函数的图像变换


  即:

  • x前面的系数A改变图像的周期(Period)

  • sin前面的系数B是改变图像的振幅(Amplitude)

  • 后面整体加或减C是整体将图像往上或往下平移C个单位(加就是向上,减就是向下平移)。

  • 图像变换顺序为:先里(括号里),后外(括号外),先乘除(A,B),后加减(C)

  3. 在了解的法则后,我们开始四步画图法:

  以真题为例:

  f(x) = 5 + 3 cos(0.5x) 0 ≤ x ≤ 2π (360°).

  第一步:画核心图像(这道题是cos的变换,所以先画y=cosx)


CIE P1 四步搞定三角函数的图像变换


  第二步:先里 (x前的系数为1/2)即:Period=360° × 2 = 720°


CIE P1 四步搞定三角函数的图像变换


  第三步:后外(cos前的系数为3)即:Amplitude= 1 × 3 = 3


CIE P1 四步搞定三角函数的图像变换


  第四步:后加减(整体+5)即:整体向上移5个单位


CIE P1 四步搞定三角函数的图像变换


  最后,我们要注意取值范围是 0 ≤ x ≤ 2π.即0 ≤ x ≤ 360°,最后的图像:


CIE P1 四步搞定三角函数的图像变换


  以上四步法初学时会觉得非常复杂。但是一旦掌握的了方法,多加练习,考试的时候可以在草稿上用简图的方法画出四步,最后在考卷上呈现最后的答案即可。速度非常快,1分钟可搞定。

  大家学会了吗?

  T真题自测

  A function f is defined by f(x) = 3 - 2 sin(x), for 0° ≤ x ≤ 360°.

  (i) Find the range off. [2]

  (ii) Sketch the graph of y = f(x). [2]

  (2005年夏天卷 第7题)

  答案下翻

  答案:

  第一步:画核心图像y=sinx

  第二步:x前面的系数是1,周期不需要调整。

  第三步:sin前面的系数是-2,振幅 ×2,但是因为有“-”号,所以sin图像整体要按照x轴翻180°,再振幅 ×2。

  第四步:整体向上挪动3个单位。

  最后调整取值范围。

  答案:根据图像: y的range: 1 ≤ f(x) ≤ 5


CIE P1 四步搞定三角函数的图像变换


  最后,大家画图的时候要注意以下几点:

  1.考试时画图要使用铅笔,橡皮和尺子

  2.画图要注意图像的整体大小,整体必须大于6cm (越大,越清晰,越好)

  3.画图时关键点(key points)必须要标得清楚:(f(x)的最大值,最小值,周期等)

  4.只要画出x取值范围内的的图像,取值范围外的用虚线表示,或者擦掉。

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